也说说算法的力量

刚巧看到一个网友研究“算法的力量”，说明好的算法有时候能大大提高速度。不过就这个网友提出的问题，其实不需要使用计算机来求解，数论方法很容易就能获取到方程的所有解。

问题是：
就是要找一个数出来，把这个数个位上的数字挪到最前面去，例如 123 变成 312，12345变成51234。但是还要求得到的“新数”要是原来数的两倍。

文章作者假定末位数为Y，10位以上为X，则需求就成了

(1) 2*(10X+Y) = Y*10 ^(n-1) + X

化简结果就是

(2) X = Y (10 ^(n-1) -2)/19

然后作者变成遍历计算10 ^(n-1) -2是否整除19。其实到这一步，数学的方法还可以进一步，不过需要一点的数论专业知识：

用数论的语言是求n-1使得

(3) 10 ^(n-1) = 2 (mod 19)

因为10和19互质(只有公约数1)、而且19是质数，所以根据费马定理

(4) 10 ^19-1 = 1 (mod 19)

如果等式(3)有解，n必定小于19，设定t=19-n，则

(5) 10 ^19-1-t = 1/10^t (mod 19)

其中1/10^t代表10^tZ = 1 (mod 19)中的Z值，什么时候Z=2就是我们想要的，换言之，我们只需要知道什么时候10^t*2 = 1 (mod 19)就行，这个结果就很简单了，t的最小值为1。

所以，求解结果是：n最小值为19-t=18。有了n，Y从1-9都是可能的解。

需要说明的是：作者文章中计算10 的100次方(即n最大到100)内其实漏掉很多解。通过简单的数论知识就知道，如果n最小值为18，n=19k+18(k=0,1,2...)都是解。

所以，有时候，理论比计算来得更有挑战，只有人们没有找到求解方法的时候，才会思考各种逼近结果的算法。不过让我有点纳闷的是，小学5年级学生用的数学课外读物怎么就有这么高深的问题了？