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正如充满正义感的人无法容忍犯罪的发生,富于美感的人不能包容丑陋和瑕疵一样,一个逻辑严谨的人是没办法忍受哪怕一点点逻辑漏洞的存在的。几天前的一篇帖子,招来了一堆自以为是的人,也逼得在mop潜水多日的我头一次发贴,来堂堂正正地批驳那道存在严重漏洞的推理题,给所有不了解逻辑的人上一堂浅显的逻辑课。这是我第一次写这种类似科普的文章,如有名词解释、用法上不适当的地方,谨请指正。
后面的内容安排如下:
第一章:介绍
事情的起因,源自于好事者贴出的一则声称做出来就有130智商的推理题。很快就有人得出了答案,并引得和声一片。但接着就有人提出了不同的看法。印象中东方隐最先发现了题目的漏洞;我得出了相同的结论,很快,雷神爷爷赞同了我的观点。guojia虽然在细节上留有自己的看法,但是他总体上接受了我的观点。重装步兵发了一片相当长的文章,此文是如此之长以至于我没法安心细看,不过我感觉上他和我基本保持了相同立场,虽然在陈述上还存在着一定的问题。还有一些赞同我的观点的人,恕我记忆里有限,无法一一列举。遗憾的是,真理往往掌握在少数人手中。
大多数人还是无法一下子理解认识到他们所犯的逻辑错误。当然这也正是我写此文的原因。下面,我用概括性的描述一下那道富于争议的题。这个题干是大多数人所认可的:
有甲乙两个纸条和甲乙两个箱子。已知其中一个箱子中装有黄金。纸条上的内容如下:
甲纸条:“乙纸条是真的,而且黄金在甲箱。”
乙纸条:“甲纸条是假的,而且黄金在甲箱。”
现不知纸条的真假与否,问:那黄金在哪个箱子?
如果看完题目,你已经发现这个题存在漏洞,或是隐隐约约感觉到有什么不对劲的话,恭喜你,你已经把握住了问题的要害。不过,让我们耐着性子,把那个错误的推理看完。如下是比较典型的推导过程:
假設甲箱上的字條是真的,那麼:“乙箱上的字條是真的,而且黃金在甲箱”的兩個陳述都是真的。如此則乙箱的字條說的是真的,看看它上面寫著什麼:“甲箱的字條是假,而且黃金在甲箱”這邊的“甲箱的字條是假的”則違反了最初的假設,因此不成立。
如此可推論甲箱上的字條是假的,即其中至少有一個陳述是假的,可能是:(1)乙箱的字條是假的;(2)黃金在乙箱。若(1)乙箱的字條是假的,則表示甲箱的字條是真的(已經證明不成立的),或是(2)黃金在乙箱。無論如何,黃金一定在乙箱!
我们也可以稍稍做一下修改,把它概括一下。如果你无法理解这样的修改也不要紧,后面不会有太多内容基于此。
假设黄金在甲箱,那么甲乙两个命题构成了悖论,相互矛盾。所以,黄金不在甲箱而在乙箱。
现在我们已经给出了题目和错误推理,让我们开始来好好地批驳它吧。
第二章:独立事件
逻辑源于生活。它用概括性的语言描述人类的思维和推理,虽然有些晦涩,但确是严谨的。现在就让我们用普通的、生活的思维方式,来看穿漏洞的所在。
让我们假设这样一个场景:我就是那个写纸条、放金块的人。其实我这个人很没计划,想到什么做什么。写完两张纸条了,纸条贴好了,照理说,下面我该放金块了。可你也知道,我这个人很没计划的,想到哪里算哪里,金块蛮,想放哪儿就放哪儿吧。什么?你说纸条?哈哈,你傻啦?我放金块关纸条什么事啊?反正纸条真真假假的,你们自己瞎猜去吧,我呢,只管自己放金块,想放哪里就放哪里。
明白了吧?其实纸条内容和金块的位置完全是两码事,风马牛不相及。这就是所谓的独立事件。你不能够从纸条的内容上推导出金块的位置,因为纸条的内容真假与否都尚未可知,如何能对金块的位置产生约束呢?曾有人举了这样一个例子想要反驳这个的观点,他:说高速公路上的路牌写着北京北、广州南,难道路牌和北京广州的位置就是独立的吗?难道路牌对位置没有约束性了吗?呵呵,殊不知他为我提供了一个很好的证据。让我们把路牌的情况放到原题中看,我们还得给它加上一个条件,那就是:不知路牌的真假。如此一来,独立性这个概念就越发明显了。在你不知路牌真假的情况下,任何情况都是有可能发生的。事实与路牌内容这两者之间显然构成了一个典型的独立关系。
那么如何才能去掉这种独立关系呢?很简单,提供更多的条件,对命题的真假作出约束。比如,已知一真一假,已知不全真等等。这种约束条件,在某种程度上可以当作事实的一部分。我们会在下一章中具体分析事实和推理的关系。
第三章:悖论,反证法?
既然有的人想用逻辑推导来证明他们的观点的正确性,那么这一次,我就以其人之道还治其人之身,用真真正正的逻辑来彻底推翻他的论断。在开始之前,让我们先来了解一些关于逻辑、逻辑推理的基本概念。(这里,主要讲的是布尔逻辑。如果有人要提模糊逻辑,我们另外再谈)
首先登场的是:事实、规则和命题这三个概念。所谓命题,是指对事物的一个陈述,任何看法,观点、主张、论断都可以看作命题。命题有可能真也有可能假。已知为真的命题,我们称之为事实。规则,则是逻辑演绎的工具,比如三段论:(a=>b & b=>c)=> (a=>c)等等。这里讨论的内容和规则无关,我就不细说了。
接下来,让我们来看看逻辑推导的两种方式:正向推导和反向推导。所谓的反向推导(反演),也就是通常所说的反证法。正向推导,是由事实出发,结合规则和其他事实,直接得出结论命题。而反向推导,是先假设结论为假,继而通过规则和其他事实,导出与已知事实相矛盾,从而推翻假设,得出结论为真。
这里的关键是“事实”两个字。无论是正演还是反演,都不能没有事实。这就像巧妇难为无米之炊一样,空有炉灶(规则),没有米(事实),是煮不成饭(结论)的。尤其是反证法,最后推出矛盾,必须是和已知事实相矛盾,请大家注意“已知事实”这四个字。这正是那个貌似正确的推导彻底崩溃的根源。(如有疑惑,可查阅反证法定义)
现在让我们回到题目中去。让我们看看能不能做什么逻辑推理呢?回答是否定的。原题中,没有提供任何有价值的事实,能让我们做任何的推导。有人也许会问“存在某个箱子放了金块,这不是一个事实吗?”不错,这是一个事实,可惜这个事实太弱了,以至于不能体现任何价值。这就像我要证明一个数学公式,你却给我提供类似“我们大家都是地球人”这样的事实条件。很遗憾,这个事实对证明无能为力。那么什么样的事实才能够强到有用呢?其实在上一章的结尾我已经提到了一些例子。当对纸条的真假作出一定的约束的事实,才是真正有用地。
以上从宏观上分析了在缺乏事实的条件下,想要得出任何结论是不可能的这一基本论断,这和我们在第二章的观点是吻合的。接下来,让我们从微观出发,好好看看那个错误的推导到底错在哪里。不错,你猜对了,就是事实!用瞒天过海、混水摸鱼这八个字形容那个推导过程,是再好不过的了。
让我们看看第一章里给的那个过程,得出一个矛盾,是假设和假设本身的矛盾,换句话说,叫做自相矛盾,而并不是真正的反证法所讲的与已知事实的矛盾。因而想用反证法证明的打算,在这里出现了严重的问题,从而变得不可行。有人会问:“自相矛盾?这是什么东西?”其实我们前面已经提到了,他有个特别的名字,叫做悖论,或者两难问题。
举个例子,我说:我现在说的这句话是假的。
那么,请问,我现在说的这句话到底是不是假的呢?假如是真的,那么内容说假的,自相矛盾了。如果是假的,那么内容说真的,又自相矛盾了。类似的例子还有很多,比如著名的理发师剪头发的问题。悖论,是逻辑中的特例,就想程序中的死循环一样。你不能从悖论中推出任何结论,想要拿悖论用到反证法上去,那更是大错特错了。
实际上,把任何命题作为原推论的后半段,都会得出该命题为假的结论。就让我们真正的用一次反证法,来证明原来那个推论的荒谬。
假设原推论方式成立,那么现在给出以下两个命题:
-
甲:“乙是真的,而且地球是圆的。”
-
乙:“甲是假的,而且地球是圆的。”
由原有推论可知,地球不是圆的。这与已知事实矛盾,所以该推论方式大错特错。over.
第四章:结论
终于说得差不多了,该谈谈我的结论了。我的结论概括起来有三点:
-
纸条的内容和金块的位置为两个独立事件。照常理判断,在缺乏其他事实条件的前提下,无法从纸条的内容上得知金块的位置。
-
原题缺乏必要的事实条件,因而存在严重的逻辑漏洞。想要用悖论充当反证法的矛盾来做推导,更是错上加错。
-
在认识到以上两点的前提下,在忽略严格逻辑推导的前提下,可以得出貌似正确的结论:乙。但这只是一种形式上的正确罢了,既缺乏实际意义,也缺乏严密的逻辑的支持。这也就是习惯应试教育的人所情愿得出的结论,因为它最符合出题者的意图,仅此而已。
看到这里,如果你赞同了我的观点,那么恭喜你,你的逻辑思维有加深了一步。如果你还是不能理解,那么也许各有所长,你可能不太擅长逻辑思维。
感谢雷神爷爷的支持,他一直和我站在同一个战壕里;感谢能够接受了我的观点的人,你们的理解使我这篇文章变得有意义;也要感谢持相反、错误观点的人,你们的观点恰恰促成了这篇文章。
谨以此文献给所有热爱数学,热爱逻辑的人。
附:有的人认为这不是逻辑漏洞。但我认为这恰恰是严重的漏洞。逻辑是和生活是联系在一起的。如果你用常理都解释不通,那又怎么能期望逻辑上就没漏洞了呢?
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